命題８
2つの数の間に連続して比例する数があるならば、それらの間に連続して比例する数がいくらあろうとも、同じ数がまたもとの数と同じ比を持つ数の間に連続して比例する。
2つの数AとBの間にそれらと連続して比例する数CとDがあるとし、AがBに対するようにEがFに同じ比であるように作る。
AとBの間に連続して比例している数と同じ数が、EとFの間にもまた連続して比例することをいう。
量においてA、B、C、Dと同じであり、A、C、D、Bと同じ比を持つ数の最小数G、H、K、Lを取る。それらの外項GとLは互いに素である。propositionⅦ．３３、propositionⅧ．３
さて、A、C、D、BはG、H、K、Lと同じ比であり、数A、C、D、Bの量と数G、H、K、Lの量は等しいから、それゆえに、等間隔比により、AはBに対し同じようにGはLに対する。propositionⅦ．１４
しかしAはBに対し同じようにEはFに対し、それゆえにGはLに対し同じようにEはFに対する。
しかしGとLは互いに素であり、素である数はまた最小であり、最小数は同じ比を持つ数を同じ回数で割り切り、大きい数は大きい数を、小さい数は小さい数を、つまり、前項は前項を、後項は後項を割り切る。propositionⅦ．２１、propositionⅦ．２０
それゆえにGがEを割り切ると同じ回数でLはFを割り切る。
次に、GがEを割り切ると同じ回数でHとKはMとNをそれぞれ割り切るとする。G、H、K、LはE、M、N、Fを同じ回数で割り切る。それゆえにG、H、K、LはE、M、N、Fと同じ比である。definitionⅦ．２０
しかしG、H、K、LはA、C、D、Bと同じ比であり、それゆえにA、C、D、BもまたE、M、N、Fと同じ比である。
しかしA、C、D、Bは連続して比例していて、それゆえにE、M、N、Fもまた連続して比例している。それゆえに、AとBの間に連続して比例している数と同じ数がEとFの間にもまた連続して比例している。
それゆえに、2つの数の間に連続して比例する数があるならば、それらの間に連続して比例する数がいくらあろうとも、同じ数がまたもとの数と同じ比を持つ数の間に連続して比例する。
証明終了